Recientemente vi el video "When a complicated proof simplifies everything", de Matt Parker. Este me llamo un poco la atención, vi que la expresión no estaba definida en ciertos b independientes de n. Decidí generalizarla y convertirla en una fórmula para poder ver como se comporta en diferentes conjuntos numéricos, cosas de fin de semana.

De forma general, la primera demostración utiliza hechos sobre polinomios, pero hablaré un poco más de la segunda. La segunda funciona bastante bien, y es especialmente clara para números enteros. Lo que pasa con las bases numéricas es que cuando tenemos una base b y le restamos uno, queda una cadena con un largo n de solo un dígito, que es b menos uno, y por lo tanto, es divisible, un ejemplo muy claro es 10, o cualquier potencia de 10; quedara b menos uno, o una cadena de largo n de nueves.

Para potencias 2ⁿ

El único hecho requerido para continuar, es la factorización de cualquier número elevado a una potencia de dos al que se le reste uno. Lo anterior se puede lograr de la siguiente forma.

$$ (x^{\frac{2^n}{2}} + 1)(x^{\frac{2^n}{2}} - 1) $$ $$ x^{\frac{2^n}{2}} \cdot x^{\frac{2^n}{2}} - x^{\frac{2^n}{2}} + x^{\frac{2^n}{2}} - 1 $$ $$ x^{2\frac{2^n}{2}} - 1 $$ $$ x^{2^n} - 1 $$

Ahora, con la factorización, podemos derivar una nueva expresión.

Me aproveché de la factorización repetidamente para poder deshacerme del denominador, el cual nos limitaba a x diferentes de 1.

Casos especiales

Ahora, continuando con casos especiales, lo primero que haré es ver que ocurre cuando x es igual a uno, ignorando n para obtener la expresión más general.

Lo anterior, por cierto, es justificable por propiedades. Da igual cuanto multipliques al uno por si mismo, sigue siendo uno. Continuando, lo primero que hemos demostrado es el valor de la expresión cuando x es igual a uno, y lo generalizamos. Resulta que no importa el valor de n, siempre que x sea uno, la expresión es igual a su exponente.

Como segundo caso, tenemos a n igual a cero; demostrable usando la expresión original, pero no por nuestra productoria.

Ahora, lo anterior se aplica con el exponente siendo 2ⁿ, pero resulta que es igual a x menos uno sobre si mismo, que es la expresión original si elegimos el exponente como uno; un caso específico fuera de los exponentes potencia de dos.

Sobre potencias impares

Con las potencias impares la generalización resulto ser más compleja, el mismo truco de factorización no funciona. De todas formas, es posible aplicar la diferencia de exponentes 2n + 1, o aplicar la factorización alternante que aseguro haber visto en algún sitio, pero no recuerdo. De todas formas, no abarcaré más acá.

Adíos.